SOAL FUNGSI: KUADRAT, RASIONAL, IRASIONAL

Contoh Soal Fungsi Kuadrat

1. Jika titik puncak dari grafik y = x2 + px + q adalah (2, 3), tentukan nilai p + q.

Pembahasan

Dengan menggunakan rumus titik puncak koordinat x, maka:

–b/2a = 2

–p/2×1 = 2

p = 2 × 2 × (-1)

p = -4

Dengan mensubstitusikan titik puncak (2, 3) dan nilai p ke persamaan y = x2 + px + q diperoleh:

3 = 22 + -4(2) + q

3 = 4 – 8 + q

q = 1

Maka

p + q = -4 + 1 = -3

Jadi, nilai p + q adalah -3.

2. Jika fungsi y = ax2 + 8x + (a+2) mempunyai sumbu simetri x = 2, carilah koordinat titik puncaknya.

Pembahasan

Sumbu simetri berada di x titik puncak, sehingga:

–b/2a = 2

–8/2a = 2

a = -2

Dengan mensubstitusikan nilai a ke fungsi y, diperoleh:

y = ax2 + 8x + (a+2)

y = -2x2 + 8x

Maka kita dapat menentukan koordinat titik puncak y, yaitu

-(b2 – 4ac) / 4a = -(82 – 4(-2)(0)) / 4(-2)

-(b2 – 4ac) / 4a = – 64 / -8

-(b2 – 4ac) / 4a = 8

Jadi, koordinat titik puncaknya adalah (2, 8).

3. Carilah fungsi kuadrat dari grafik yang melintasi (-2, 5) jika titik minimumnya sama dengan titik puncak grafik y = x2 + 6x + 2.

Pembahasan

Titik puncak y = x2 + 6x + 2 adalah:

xp = –b/2a 

xp = – 6/2(1) 

xp = -3

yp = -(b2 – 4ac) / 4a

yp = -(62 – 4(1)(2)) / 4(1)

yp = -(36 – 8) / 4

yp = -28 / 4

yp = -7

Substitusikan titik puncak (-2, 5) dan (xp, yp) ke y = a(x – xp)2 + yp, maka

y = a(x – xp)2 + yp

5 = a((-2) – (-3))2 + (-7)

5 = a(-2 + 3)2 – 7

5 = a(1)2 – 7

5 = a – 7

a = 12

Substitusikan nilai a dan titik puncak (xp, yp) ke y = a(x – xp)2 + yp, maka

y = a(x – xp)2 + yp

y = 12(x – (-3))2 + (-7)

y = 12(x + 3))2 – 7

y = 12(x + 6x + 9) – 7

y = 12x + 72x + 108 – 7

y = 12x + 72x + 101

Jadi, fungsi kuadrat tersebut adalah y = 12x + 72x + 101.

4. Suatu fungsi kuadrat y = x2 + 2px + p – 1 memiliki titik puncak (q, q). Tentukan nilai p – q !

Pembahasan

–b/2a = q

–2p/2(1) = q

p = -q

Substitusikan (q, q) dan p = -q ke y = x2 + 2px + p – 1, maka

y = x2 + 2px + p – 1

q = q2 + 2(-q)q + (-q) – 1

0 = q2 – 2q2 -q – 1 – q

0 = -q2 -2q – 1

q2 + 2q + 1 = 0

(q + 1)2 = 0

q = -1

p = -q = -(-1) = 1

Sehingga diperoleh

p – q = 1 – (1) = 2

Jadi, nilai p – q adalah 2.

5. Suatu fungsi kuadrat f(x) = ax2 – 4x + c mempunyai titik puncak di (1, 3). Tentukan nilai f(4) !

Pembahasan

Pertama, substitusikan koordinat x puncak ke rumus mencari koordinat x puncak.

–b/2a = 1

–(-4)/2a = 1

a = 2

Dengan mensubstitusikan nilai a dan koordinat puncak (1, 3) ke f(x), maka

f(x) = ax2 – 4x + c

3 = 2(1)2 – 4(1) + c

3 = 2 – 4 + c

3 = -2 + c

c = 5

Untuk menemukan nilai f(4), substitusikan x = 4 dan niilai a dan c ke f(x), sehingga diperoleh

f(x) = ax2 – 4x + c

f(4) = 2(4)2 – 4(4) + 5

f(4) = 32 – 16 + 5

f(4) = 21

Jadi, nilai f(4) adalah 21.

Contoh Soal Fungsi Rasional

Contoh 1

Mendeskripsikan Sifat dari Ujung Grafik Fungsi Rasional

Untuk y = 1/x dalam kuadran III,

1. Mendeskripsikan sifat dari ujung grafik fungsi tersebut.
2. Mendeskripsikan apa yang akan terjadi pada saat x mendekati nol.

Pembahasan Serupa dengan sifat grafiknya pada kuadran I, maka akan kita peroleh

1. Pada saat x mendekati negatif tak hingga, nilai y akan mendekati nol. Jika disimbolkan akan menjadi: x → –∞, y → 0.
2. Pada saat x mendekati nol dari kiri, nilai y akan mendekati negatif tak hingga. Pernyataan tersebut juga bisa kita tuliskan dengan simbol x → 0–, y → –∞.

Fungsi y = 1/x²

Dari pembahasan di atas, kita bisa mengetahui bahwa grafik dari fungsi ini akan mengalami jeda pada saat x = 0.

Namun demikian, sebab kuadrat dari sembarang bilangan negatif merupakan bilangan positif, cabang-cabang dari grafik fungsi ini akan terletak kdi atas sumbu-x.

Perhatikan bahwa fungsi y = 1/x² adalah fungsi genap.

Sama halnya dengan y = 1/x, nilai x yang mendekati positif tak hingga akan menghasilkan y yang mendekati nol. Jika kita tulis simbolnya maka akan menjadi: x → ∞, y → 0.

Hal ini adalah salah satu indikasi dari sifat asimtot dalam arah horizontal. Serta kita akan menyatakan y = 0 adalah asimtot horizontal dari fungsi y = 1/x dan y = 1/x². Secara umum,

Asimtot Horizontal
Diberikan sebuah konstanta k, garis y = k adalah asimtot horizontal dari fungsi V(x) apabila x bertambah tanpa batas, akan menimbulkan V(x) mendekati k: x → –∞, V(x) → k atau x → ∞, V(x) → k.

Pada gambar (a) di bawah ini menggambarkan garis asimtot horizontal pada y = 1, yang menunjukan grafik f(x) sebagai translasi grafik y = 1/x ke atas sejauh 1 satuan.

Gambar (b) menggambarkan garis asimtot horizontal pada y = –2, yang menunjukan grafik g(x) sebagai pergeseran grafik y = 1/x² ke bawah sejauh 2 satuan.

Contoh 2

Mendeskripsikan Sifat dari Ujung Grafik Fungsi Rasional

Berdasarkan gambar (b) di atas, pakailah notasi matematika guna:

1. Mendeskripsikan sifat dari ujung grafik di atas.
2. Mendeskripsikan apa yang berlangsung pada saat x mendekati nol.

Pembahasan

1. Pada saat x → –∞, g(x) → –2. Ketika x → ∞, y → –2.
2. Pada saat x → 0–, g(x) → ∞. Ketika x → 0+, y → ∞.

Dari contoh 2b di atas, maka dapat diketahi bahwasannya pada saat x mendekati nol, g akan berubah menjadi sangat besar serta semakin bertambah tidak terbatas.

Hal tersebut adalah indikasi dari sifat asimtot dalam arah vertikal.

Dan kemudian kita akan menyebut garis x = 0 adalah asimtot vertikal untuk g (x = 0 juga adalah asimtot vertikal untuk f). Secara umum,

Asimtot Vertikal
Diberikan sebuah konstanta h, garis x = h adalah asimtot vertikal untuk fungsi V apabila x mendekati h, V(x) akan bertambah atau berkurang tanpa batas: pada saat x → h+, V(x) → ±∞ atau pada saat x → h–, V(x) → ±∞.

Mengidentifikasi dari asimtot horizontal dan vertikal sangatlah bermanfaat.

Sebab grafik y = 1/x dan y = 1/x² bisa ditransformasi dengan menggesernya ke arah vertikal maupun gorizontal. Fungsi,

adalah bentuk pergeseran dari fungsi y = 1/x. Sementara untuk fungsi,

adalah bentuk pergeseran dari fungsi y = 1/x². Kemudian perhatikan contoh yang ada di bawah ini:

Contoh 3

Menuliskan Persamaan dari Fungsi Rasional

Identifikasi fungsi yang diberikan oleh grafik pada gambar di bawah, lalu pakailah grafik tersebut untuk menuliskan persamaan fungsi tersebut. Anggaplah |a| = 1.

Pembahasan dari grafik di atas, dapat kita ketahui bahwasannya grafik tersebut adalah pergeseran dari fungsi y = 1/x ke kanan sejauh 2 satuan. Serta bergeser ke bawah sejauh 1 satuan.

Sehingga asimtot horizontal serta vertikal dari grafik di atas secara berturut-turut yaitu y = –1 dan x = 2. Maka dari itu, persamaan dari grafik di atas yaitu:

yang mana adalah bentuk dari pergeseran fungsi y = 1/x.

Contoh Soal Fungsi Irasional

Contoh 1:
Selesaikanlah Persamaan irasional,

  

[solusi]
Tentukan terlebih dahulu prasyarat, yaitu:

Selanjutnya selesaikan :

Secara grafis persamaan diatas dapat di gambarkan sebagai berikut:

Dari grafik diatas, tampak bahwa kedua grafik berpotongan di titik A dan titik B. Maka himpunan penyelesaiannya adalah adalah titik A, yaitu x = 2 (bagian yang  bergaris tebal). Dan titik B, yaitu x = -2 adalah penyelesaian semu (bagian yang bergaris putus-putus).

Contoh 2:

Selesaikanlah Persamaan irasional  berikut ini,

[Solusi]

Tentukan terlebih dahulu Prasyarat :
  

Selanjutnya selesaikan :

  

Penyelesaian dengan grafik, yaitu sebagai berikut:

Contoh 3:

Tentukan himpunan penyelesaian dari  Persamaan irasional  berikut ini , [Solusi]Tentukan terlebih dahulu prasyarat :
Selanjutnya selesaikan:
Jadi, persamaan rasional,   tidak mempunyai solusi. 

Ada cara lain dalam menentukan himpunan penyelesaian persamaan irasional, yaitu dengan mensubtitusikan kembali nilai x yang diperoleh kedalam persamaan semula, jika hasilnya ruas kiri sama dengan ruas kanan maka nilai tersebut adalah penyelesaianya. 

Perhatikan contoh dibawah ini!

Contoh 4 :

 
Tentukan himpunan penyelesaian dari,  

[Penyelesaian]

 

Subtitusikan x = 3 dan x =  -2 ke persamaan semula,

Jadi, himpunan penyelesainnya adalah { 3 , - 2}

Daftar Pustaka:

https://rumuspintar.com/fungsi-kuadrat/contoh-soal/

https://www.yuksinau.id/fungsi-rasional/

https://soulmath4u.blogspot.com/2013/10/persamaan-irasional.html