LUTFI FEBRIANO (16) X MIPA 3 : IDENTITAS TRIGONOMETRI

Identitas Trigonometri Dan Contoh Soalnya

Jika salah satu satu sudut 90 derajat dan sudut lainnya diketahui, dengan demikian sudut ketiga dapat ditemukan, karena tiga sudut segitiga bila dijumlahkan menjadi 180 derajat. Karena itu dua sudut (yang kurang dari 90 derajat) bila dijumlahkan menjadi 90 derajat: ini sudut komplementer.

Kegunaan

Ada banyak aplikasi trigonometri. Terutama adalah teknik triangulasi yang digunakan dalam astronomi untuk menghitung jarak ke bintang-bintang terdekat, dalam geografi untuk menghitung antara titik tertentu, dan dalam sistem navigasi satelit.

Bidang lainnya yang menggunakan trigonometri termasuk astronomi (dan termasuk navigasi, di laut, udara, dan angkasa), teori musik, akustik, optik, analisis pasar finansial, elektronik, teori probabilitas, statistika, biologi, pencitraan medis/medical imaging (CAT scan dan ultrasound), farmasi, kimia, teori angka (dan termasuk kriptologi), seismologi, meteorologi, oseanografi, berbagai cabang dalam ilmu fisika, survei darat dan geodesi, arsitektur, fonetika, ekonomi, teknik listrik, teknik mekanik, teknik sipil, grafik komputer, kartografi, kristalografi.

Ada pengembangan modern trigonometri yang melibatkan “penyebaran” dan “quadrance”, bukan sudut dan panjang. Pendekatan baru ini disebut trigonometri rasional dan merupakan hasil kerja dari Dr. Norman Wildberger dari Universitas New South Wales. Informasi lebih lanjut bisa dilihat di situs webnya.

Rumus – Rumus yang perlu dipahami

Rumus Dasar yang merupakan Kebalikan

Rumus Dasar yang merupakan hubungan perbandingan

Rumus Dasar yang diturunkan dari teorema phytagoras

Contoh 1

Buktikan identitas berikut:

Sin α . Cos α . Tan α = (1 – Cos α) (1 + Cos α)

Jawab:

Sin β . Tan β + Cos β = Sec β

Jawab:

Sin β . Tan β + Cos β

Persamaan Trigonometri

Persamaan trigonometri dapat diselesaikan dengan menggunakan daftar atau menggunakan rumus-rumus perbandingan sudut-sudut berelasi.

Periodisitas Trigonometri

Teorema :

Fungsi f(x) = sin x dan g(x) = cos x adalah fungsi periodik yang berperiode dasar 360. Sedangkan fungsi h(x) = tan (x) dan g(x) = cotg (x) adalah fungsi periodik yang berperiode dasar 180. Dengan demikian dapat diketahui :

Persamaan Trigonometri Sederhana

Contoh 2

Tentukan himpunan Penyelesaian dari Persamaan Sin x =

Jawaban :

Persamaan Trigonometri dalam bentuk a cos x + b sin x = c

Cara penyelesaian persamaan tersebut di atas sebagai berikut:

Contoh 3

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan:

Cos y – Sin y = 1, jika 0o ≤ y ≤ 360o

Jawab:

Cos y – Sin y = 1 ↔ a = 1; b = – 1 ; c = 1

Persamaan Trigonometri yang berbentuk Sin px = a, cos px = a, dan tan px = a, dengan a dan p adalah konstanta

Penyelesaian persamaan trigonometri yang berbentuk Sin px = a, cos px = a dan

tan px = a dapat dilakukan dengan cara mengubah persamaan-persamaan trigonometri tersebut menjadi persamaan trigonometri dasar.

Teorema:

Himpunan Penyelesaian umum adalah :

Himpunan Penyelesaian umum adalah

Persamaan Trigonometri yang memuat jumlah atau selisih sinus atau kosinus

Untuk menentukan himpunan penyelesaian persamaan trigonometri yang memuat jumlah atau selisih sinus kosinus, diperlukan rumus penjumlahan dan pengurangan sinus dan kosinus sebagai berikut :

Contoh :

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri :

Jawab:

Jadi, Himpunan Penyelesaian persamaan

Persamaan Trigonometri yang dapat diubah menjadi persamaan kuadrat dalam sinus, kosinus atau tangens

Pada dasarnya sebuah persamaan trigonometri yang dapat diubah menjadi persamaan kuadrat dapat dicari penyelesaianya menggunakan faktorisasi, melengkapkan bentuk persamaan kuadrat sempurna atau dengan rumus abc dengan memperhatikan sifat-sifat dari trigonometri.

Contoh :