LUAS SEGITIGA DENGAN TRIGONOMETRI, ATURAN SINUS DAN ATURAN COSINUS
Aturan Sinus
Aturan sinus berbunyi bahwa perbandingan panjang sisi sebuah segitiga dengan sinus sudut yang menghadapnya memiliki nilai yang sama.
Lebih jelasnya pada gambar dibawah ini
Keterangan
- A = besar sudut di hadapan sisi a
- a = panjang sisi a
- B = besar sudut di hadapan sisi b
- b = panjang sisi b
- C = besar sudut di hadapan sisi c
- c = panjang sisi c
- AP ┴ BC
- BQ ┴ AC
- CR ┴ AB
Perhatikan segitiga ACR
Sin A = CR/b maka CR = b sin A …(1)
Perhatikan segitiga BCR
Sin B = CR/a maka CR = a sin B …. (2)
Perhatikan segitiga ABP
Sin B = AP/c maka AP = c sin B … (3)
Perhatikan segitiga APC
Sin C = AP/b maka AP = b sin C …(4)
Berdasarkan persamaan (1) dan (2) didapat
CR = b sin A = a sin B maka a/sin A = b/sin B …(5)
Berdasarkan persamaan (3) dan (4) didapat
AP = c sin B = b sin C maka b/sin B = c/sin C …(6)
Kemudian, berdasarkan persamaan (5) dan (6) diperoleh
a/sin A = b/sin B = c/sin C
Persamaan ini yang kemudian disebut dengan aturan sinus.
Contoh Soal Aturan Sinus
1. Andi sedang mengukur mainan segitiganya yang tiap sudutnya dikodekan dengan A, B, dan C, kemudian diketahui segitiga tersebut memiliki sudut A = 30ยบ, sisi a = 6cm dan sisi b = 8cm. Hitung besar sudut B!
Akan dicari besar sudut B
sin B = (b sin A)/a
sin B = 8/6 sin 30̊
sin B = 2/3
B = arc sin B
B = arc sin (2/3)
B = 41,8̊
Jadi, besar sudut B adalah 41,8̊ atau 180̊ – 41,8̊ = 138,2̊
2. Sebuah segitiga ABC memiliki panjang AC = 4 cm. Jika besar ∠ ABC = 60o dan ∠BAC = 30o, maka panjang BC = … cm.
AC/sin ∠ABC = BC/sin∠BAC
4cm/sin 60 = BC/sin30
4cm/½√3 = BC/½
BC = ½ × 4cm/½√3
BC = 4cm/√3
BC = 4/3 √3 cm
Jadi, panjang BC adalah BC4/3 √3cm.
3. Diketahui sebuah segitiga ABC dengan panjang AB = 9cm dan BC = 12cm. Jika besar ∠ ABC = 30o, tentukan luas segitiga ABC!
L = ½ a t
- Misal a = AB, maka t adalah garis tegak lurus AB ke titik C berhadapan dengan ∠ ABC, maka
Sin ∠ABC = t/BC
t = BC × Sin ∠ABC
Sehingga diperoleh
L = ½ a t
L = ½ × AB × BC × Sin ∠ABC
L = ½ × 9cm × 12cm × Sin 30o
L = ½ × 9cm × 12cm × ½
L = 27cm2
- Misal a = BC, maka t adalah garis tegak lurus BC ke titik A berhadapan dengan ∠ ABC, maka
Sin ∠ABC = t/AB
t = AB × Sin ∠ABC
Sehingga diperoleh
L = ½ a t
L = ½ × BC × AB × Sin ∠ABC
L = ½ × 12cm × 9cm × Sin 30o
L = ½ × 12cm × 9cm × ½
L = 27cm2
Jadi, luas segitiga ABC adalah 27cm2.
4. Diketahui sebuah segitiga PQR memiliki luas sebesar 96cm2. Jika panjang PR = 12cm dan besar ∠PRQ = 60o, tentukan panjang QR!
L = ½ × PR × QR × Sin ∠PRQ
96cm2 = ½ × 12cm × QR × Sin 60o
96cm2 = ½ × 12cm × QR × ½√3
96cm2 = 4√3cm × QR
QR = 96cm2 ÷ 4√3cm
QR = 24/√3 cm
QR = 8√3cm
Jadi, panjang QR adalah 8√3cm.
5. Sebuah segitiga XYZ memiliki panjang XZ = 6cm dan YZ = 2√3cm. Jika besar ∠ XYZ = 60o, tentukan besar ∠YXZ !
XZ/sin ∠XYZ = YZ/sin∠YXZ
6cm/sin 60 = 2√3cm/sin∠YXZ
6cm/½√3 = 2√3cm/sin∠YXZ
sin∠YXZ = 2√3cm × ½√3 ÷ 6cm
sin∠YXZ = 3/6
sin∠YXZ = ½
YXZ = arc sin (½)
YXZ = 30o
Jadi, besar ∠YXZ adalah 30o.
6. Diketahui sebuah segitiga ABC memiliki luas sebesar 6cm2. Jika panjang AB = 3cm dan BC = 4cm, tentukan besar ∠ABC!
L = ½ × AB × BC × Sin ∠ABC
6cm2 = ½ × 3cm × 4cm × Sin ∠ABC
6cm2 = 6cm2 × Sin ∠ABC
Sin ∠ABC = 1
ABC = arc sin (1)
ABC = 90o
Jadi, besar ∠ABC adalah 90o.
Aturan Cosinus
Aturan cosinus menjelaskan hubungan antara kuadrat panjang sisi dengan nilai cosinus dari salah satu sudut pada segitiga.
Lebih jelasnya pada gambar dibawah ini.
Keterangan
- A = besar sudut di hadapan sisi a
- a = panjang sisi a
- B = besar sudut di hadapan sisi b
- b = panjang sisi b
- C = besar sudut di hadapan sisi c
- c = panjang sisi c
- AP ┴ BC
- BQ ┴ AC
- CR ┴ AB
Perhatikan segitiga BCR
Sin B = CR/a maka CR = a sin B
Cos B = BR/a maka BR = a cos B
AR = AB – BR = c – a cos B
Perhatikan segitiga ACR
b2 = AR2 + CR2
b2 = (c – a cos B)2 + (a sin B)2
b2 = c2 – 2ac cos B + a2 cos2 B + a2 sin2 B
b2 = c2 – 2ac cos B + a2 (cos2 B + sin2 B)
b2 = c2 + a2– 2ac cos B
Menggunakan analogi yang sama, kemudian diperoleh aturan cosinus untuk segitiga ABC sebagai berikut
a2 = c2 + b2– 2bc cos A
b2 = a2+ c2 – 2ac cos B
c2 = a2+ b2 – 2ab cos C
Contoh Soal Aturan Cosinus
Diketahui sebuah segitiga ABC memiliki sisi dengan panjang
a = 10 cm
c = 12 cm
besar sudut B = 60̊.
Hitung panjang sisi b!
b2 = a2+ c2 – 2ac cos B
b2 = 100+144 – 44 cos 60̊
b2 = 244 – 44(0,5)
b2 = 244 – 22
b2 = 222
b = 14,8997
Jadi, panjang sisi b adalah 14,8997 cm
Kesimpulan
