Contoh Soal Cerita Persamaan Linear Tiga Variabel dan Penyelesaiannya
Contoh Soal 1
Ibu Yanti membeli 5 kg telur, 2 kg daging, dan 1 kg udang dengan harga Rp 305.000,00. Ibu Eka membeli 3 kg telur dan 1 kg daging dengan harga Rp 131.000,00. Ibu Putu membeli 3 kg daging dan 2 kg udang dengan harga Rp 360.000,00. Jika Ibu Aniza membeli 3 kg telur, 1 kg daging, dan 2 kg udang, berapah harga yang harus ia bayar?
Penyelesaian:
Misal x = harga telur, y = harga daging, dan z = harga udang.
Jumlah harga belanjaan ibu Yanti Rp 305.000 sehingga diperoleh persamaan:
5x + 2y + z = 305000
Jumlah harga belanjaan ibu Eka Rp 131.000 sehingga diperoleh persamaan:
3x + y = 131000
Jumlah harga belanjaan ibu Putu Rp 360.000 sehingga diperoleh persamaan:
3y + 2z = 360000
Jumlah harga yang harus dibayar Ibu Aniza dapat ditulis dengan persamaan = 3x + y + 2z
Diperoleh SPLTV yakni:
5x + 2y + z = 305000 . . . . pers (1)
3x + y = 131000 . . . . pers (2)
3y + 2z = 360000 . . . . pers (3)
Adapun metode yang akan dipilih dalam menyelesaikan SPLTV yakni metode subtitusi.
Langkah I
Ubah persamaan 2 yakni:
3x + y = 131000
y = 131000 – 3x . . . . pers (4)
Langkah II
Substitusi persamaan 4 ke persamaan 1, maka:
5x + 2y + z = 305000
5x + 2(131000 – 3x) + z = 305000
5x + 262000 – 6x + z = 305000
– x + z = 43000
z = 43000 + x . . . . persamaan 5
Langkah III
Substitusi persamaan 5 ke persamaan 3, maka:
3y + 2z = 360000
3y + 2(43000 + x) = 360000
3y + 86000 + 2x = 360000
2x + 3y = 274000 . . . . pers (6)
Langkah IV
Substitusi persamaan 4 ke persamaan 6, maka:
2x + 3y = 274000
2x + 3(131000 – 3x) = 274000
2x + 393000 – 9x = 274000
– 7x = – 119000
x = – 119000/–7
x = 17000
Langkah V
Substitusi nilai x ke persamaan 4 dan ke persamaan 5, maka:
y = 131000 – 3x
y = 131000 – 3(17000)
y = 80000
z = 43000 + x
z = 43000 + 17000
z = 60000
Langkah VI
Jumlah harga yang harus dibayar ibu Aniza yakni:
Ibu Dina = 3x + y + 2z
Ibu Dina = 3(17000) + 80000 + 2(60000)
Ibu Dina = 51000 + 80000 + 120000
Ibu Dina = 251000
Jadi, harga yang harus Ibu Aniza bayar adalah sebesar Rp 251.000,00
Contoh Soal 2
Pada hari Minggu Wayan, Candra, Agus dan Akbar membeli perlengkapan sekolah di toko buku “Subur”. Wayan membeli 4 buku, 2 bolpoin, dan 3 pensil dengan harga Rp26.000,00. Candra membeli 3 buku, 3 bolpoin, dan 1 pensil dengan harga Rp21.500,00. Agus membeli 3 buku, dan 1 pensil dengan harga Rp12.500,00. Jika Akbar membeli 1 buku, 2 bolpoin dan 2 pensil, berapakah harga yang harus ia bayar?
Penyelesaian:
Misalkan a = buku, b = bolpoin, dan c = pensil
Persamaan matematis untuk:
Wayan => 4a + 2b + 3c = 26000
Candra => 3a + 3b + c = 21500
Agus => 3a + c = 12500
Akbar => a + 2b + 2c = ?
Diperoleh SPLTV yakni:
4a + 2b + 3c = 26000 . . . . pers (1)
3a + 3b + c = 21500 . . . . pers (2)
3a + c = 12500 . . . . pers (3)
Adapun metode yang dipilih dalam menyelesaikan SPLTV ini yakni dengan menggunakan metode eliminiasi.
Langkah I
Eliminasi variabel b pada persamaan 1 dan 2 yakni:
4a + 2b + 3c = 26000 x3
3a + 3b + c = 21500 x2
12a + 6b + 9c = 78000
6a + 6b + 2c = 43000
----------------------------- -
6a + 0 + 7c = 35000
=> 6a + 7c = 35000 . . . pers (4)
Langkah II
Eliminiasi variabel c pada persamaan 3 dan 4, yakni:
3a + c = 12500 x7
6a + 7c = 35000 x1
21a + 7c = 87500
6a + 7c = 35000
----------------------- -
15a = 52500
a = 3500
Langkah III
Substitusi nilai a ke persamaan 4, maka:
6a + 7c = 35000
6(3500) + 7c = 35000
21000 + 7c = 35000
7c = 14000
c = 2000
Langkah IV
Substitusi nilai a dan c ke persamaan 2, maka:
3a + 3b + c = 21500
3(3500) + 3b + 2000 = 21500
10500 + 3b + 2000 = 21500
12500 + 3b = 21500
3b = 9000
b = 3000
Langkah V
Untuk menentukan harga yang harus Akbar bayar dapat dilakukan dengan memasukan nilai a, b dan c, yakni:
Harga = a + 2b + 2c
Harga = 3500 + 2(3000) + 2(2000)
Harga = 3500 + 6000 + 4000
Harga = 13500
Jadi harga yang harus Akbar bayar adalah sebesar Rp 13.500,00
Contoh Soal 3
Diketahui sebuah bilangan tiga angka. Jumlah angka-angka tersebut 11. Dua kali angka pertama ditambah angka kedua sama dengan angka ketiga. Angka pertama ditambah angka kedua dikurangi angka ketiga sama dengan – 1. Tentukan ketiga bilangan tersebut.
Penyelesaian:
Misalkan: x = bilangan pertama, y = bilangan kedua, z = bilangan ketiga
Persamaan matematis:
a + b + c = 11
2a + b = c => 2a + b – c = 0
a + b – c = – 1
Diperoleh SPLTV yakni:
a + b + c = 11 . . . . pers (1)
2a + b – c = 0 . . . . pers (2)
a + b – c = – 1 . . . . pers (3)
Langkah I
Eliminasi c dengan menggunakan persamaan 1 dan 2 maka:
a + b + c = 11
2a + b – c = 0
----------------- +
3a + 2b = 11 . . . . . pers (4)
Langkah II
Eliminasi b dan c dengan menggunakan persamaan 2 dan 3, maka:
2a + b – c = 0
a + b – c = – 1
------------------ -
a = 1
Langkah III
Subtitusi nilai a ke persamaan 4, maka:
3a + 2b = 11
3(1) + 2b = 11
3 + 2b = 11
2b = 8
b = 4
Langkah IV
Subtitusi nilai a dan b ke persamaan 1, 2 atau 3, maka:
a + b + c = 11
1 + 4 + c = 11
5 + c = 11
c = 6
Jadi ketiga bilangan tersebut secara berurutan adalah 1, 4 dan 6.
Contoh Soal 4
Eka, Dwi, dan Tri adalah 3 bersaudara. Menurut mereka, jumlah usia mereka adalah 28 tahun. Jumlah usia Eka yang ditambah 2 tahun dan usia Dwi yang ditambah 3 tahun sama dengan 5 tahun ditambah tiga kali usia Tri. Dua kali usia Eka dikurangi usia Dwi kemudian ditambah usia Tri sama dengan 13 tahun. Tentukan urutan usia mereka dari yang paling muda!
Penyelesaian:
Misal usia Eka = x, Dwi = y, dan Tri = z
Persamaan matematis:
x + y + z = 28
(x + 2) + (y + 3) = 5 + 3z => x + y – 3z = 0
2x – y + z = 13
Diperoleh SPLTV yakni:
x + y + z = 28 . . . . pers (1)
x + y – 3z = 0 . . . . pers (2)
2x – y + z = 13 . . . . pers (3)
Langkah I
Eliminasi x dan y dengan menggunakan persamaan 1 dan 2 yakni:
x + y + z = 28
x + y – 3z = 0
----------------- -
4z = 28
z = 7
Langkah II
Eliminiasi y dengan menggunakan persamaan 2 dan 3 yakni:
x + y – 3z = 0
2x – y + z = 13
------------------ +
3x – 2z = 13 . . . . pers (4)
Langkah III
Substitusi nilai z ke persamaan 4, maka:
3x – 2z = 13
3x – 2(7) = 13
3x – 14 = 13
3x = 27
x = 9
Langkah IV
Substitusi nilai x dan z ke persamaan 1, maka:
x + y + z = 28
9 + y + 7 = 28
y + 16 = 28
y = 12
Jadi urutan usia dari usia yang paling muda yaitu 7 tahun, 9 tahun, dan 12 tahun.
Daftar Pustaka:
https://mafia.mafiaol.com/2020/10/contoh-soal-cerita-persamaan-linear-tiga-variabel-dan-penyelesaiannya.html
.png)