Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku
Jika berbicara tentang dasar trigonometri, mutlak kita akan berhadapan dengan segitiga siku-siku, karena trigonometri itu sendiri didefinisikan berdasarkan konsep kesebangunan pada segitiga siku-siku.
Jika sisi di depan sudut (opposite) dinamakan "depan", sisi di samping sudut (adjacent) dinamakan "samping" dan sisi miring (hypotenuse) dinamakan "miring", maka perbandingan sisi-sisi tersebut didefinisikan sebagai berikut :
Keterangan :
sin untuk sinus
cos untuk cosinus
tan untuk tangen
csc untuk cosecan
sec untuk secan
cot untuk cotangen
Catatan :
Sisi depan dan sisi samping dapat berubah tergantung sudut yang digunakan, sedangkan sisi miring selalu sama, yaitu sisi terpanjang dan letaknya selalu di depan sudut siku-siku.
Dari definisi diatas dapat kita amati dan simpulkan sebagai berikut :
Cosecan adalah kebalikan dari sinus, ditulisSecan adalah kebalikan dari cosinus, ditulisCotangen adalah kebalikan dari tangen, ditulis
Tangen adalah perbandingan sinus terhadap cosinus, ditulissehingga
Contoh 1
Tentukan semua perbandingan trigonometri untuk sudut α pada segitiga ABC dan sudut β untuk segitiga PQR !
Penyelesaian :
Perhatikan segitiga ABC
AC = = 2
Sesuai dengan definisi, maka
sin(α) = = =
cos(α) = = =
tan(α) = = = =
csc(α) = = = =
sec(α) = = = = 2
cot(α) = = = =
Perhatikan segitiga PQR
QR = = 1
Sesuai dengan definisi, maka
sin(β) = = = =
cos(β) = = = =
tan(β) = = = = 1
csc(β) = = = =
sec(β) = = = =
cot(β) = = = = 1
Contoh 2
Jika tan(α) = dan α sudut lancip, tentukan nilai dari
Penyelesaian :
tan(α) = =
Karena perbandingan trigonometri memenuhi konsep kesebangunan, dapat ditulis :
depan =
samping = 1
Dengan teorema phytagoras
miring = = 2
Berdasarkan definisi, kita peroleh
sin(α) =
cos(α) =
sin2(α) + cos2(α) = ()2 + ()2
sin2(α) + cos2(α) = +
sin2(α) + cos2(α) = 1
Jadi, sin2(α) + cos2(α) = 1
Contoh 3
Jika sin(β) = dan sudut β lancip, tentukan nilai dari
Penyelesaian :
sin(β) = =
depan = 1
miring = 2
samping = =
Sesuai definisi
sec(β) =
tan(β) =
sec2(β) − tan2(β) = ()2 − ()2
sec2(α) − tan2(α) = −
sec2(α) − tan2(α) = 1
Jadi, sec2(β) − tan2(β) = 1
Contoh 4
Jika cos(γ) = dan sudut γ lancip, tentukan nilai dari
Penyelesaian :
cos(γ) = =
samping =
miring = 2
depan = =
Sesuai definisi
csc(γ) =
cot(γ) = = 1
csc2(γ) − cot2(γ) = ()2 − (1)2
csc2(γ) − cot2(α) = 2 − 1
csc2(γ) − cot2(α) = 1
Jadi, csc2(γ) − cot2(γ) = 1
Contoh 5
Diberikan segitiga ABC dengan dan . Tunjukkan bahwa dan
Penyelesaian :
Sesuai definisi, maka
sin(α) =
cos(β) =
Dari kedua persamaan diatas, maka
sin(α) = cos(β) ......................................(1)
∠A + ∠B + ∠C = 180°
α + 90° + β = 180°
α + β = 90°
α = 90° − β .............................(2)
Contoh 6
Diketahui segitiga ABC . Titik D terletak pada BC sehingga . Jika dan , tunjukkan bahwa
Penyelesaian :
Perhatikan segitiga ABD
tan(α) =
⇔ AB = BD tan(α) ................................(1)
Perhatikan segitiga ABC
tan(β) =
⇔ AB = (BD + 1) tan(β) .......................(2)
Dari persamaan (1) dan (2)
BD tan(α) = (BD + 1) tan(β)
BD tan(α) = BD tan(β) + tan(β)
BD tan(α) − BD tan(β) = tan(β)
BD(tan(α) − tan(β)) = tan(β)
BD = ..................................(3)
Substitusi (3) ke (1)
AB = tan(α)
diperoleh
Diberikan segitiga ABC siku-siku di B dengan ∠ A = θ.
Jika sisi di depan sudut (opposite) dinamakan "depan", sisi di samping sudut (adjacent) dinamakan "samping" dan sisi miring (hypotenuse) dinamakan "miring", maka perbandingan sisi-sisi tersebut didefinisikan sebagai berikut :
Keterangan :
sin untuk sinus
cos untuk cosinus
tan untuk tangen
csc untuk cosecan
sec untuk secan
cot untuk cotangen
Catatan :
Sisi depan dan sisi samping dapat berubah tergantung sudut yang digunakan, sedangkan sisi miring selalu sama, yaitu sisi terpanjang dan letaknya selalu di depan sudut siku-siku.
Dari definisi diatas dapat kita amati dan simpulkan sebagai berikut :
Cosecan adalah kebalikan dari sinus, ditulisSecan adalah kebalikan dari cosinus, ditulisCotangen adalah kebalikan dari tangen, ditulis
Tangen adalah perbandingan sinus terhadap cosinus, ditulissehingga
Contoh 1
Tentukan semua perbandingan trigonometri untuk sudut α pada segitiga ABC dan sudut β untuk segitiga PQR !
Penyelesaian :
Perhatikan segitiga ABC
AC = = 2
Sesuai dengan definisi, maka
sin(α) = = =
cos(α) = = =
tan(α) = = = =
csc(α) = = = =
sec(α) = = = = 2
cot(α) = = = =
Perhatikan segitiga PQR
QR = = 1
Sesuai dengan definisi, maka
sin(β) = = = =
cos(β) = = = =
tan(β) = = = = 1
csc(β) = = = =
sec(β) = = = =
cot(β) = = = = 1
Contoh 2
Jika tan(α) = dan α sudut lancip, tentukan nilai dari
Penyelesaian :
tan(α) = =
Karena perbandingan trigonometri memenuhi konsep kesebangunan, dapat ditulis :
depan =
samping = 1
Dengan teorema phytagoras
miring = = 2
Berdasarkan definisi, kita peroleh
sin(α) =
cos(α) =
sin2(α) + cos2(α) = ()2 + ()2
sin2(α) + cos2(α) = +
sin2(α) + cos2(α) = 1
Jadi, sin2(α) + cos2(α) = 1
Contoh 3
Jika sin(β) = dan sudut β lancip, tentukan nilai dari
Penyelesaian :
sin(β) = =
depan = 1
miring = 2
samping = =
Sesuai definisi
sec(β) =
tan(β) =
sec2(β) − tan2(β) = ()2 − ()2
sec2(α) − tan2(α) = −
sec2(α) − tan2(α) = 1
Jadi, sec2(β) − tan2(β) = 1
Contoh 4
Jika cos(γ) = dan sudut γ lancip, tentukan nilai dari
Penyelesaian :
cos(γ) = =
samping =
miring = 2
depan = =
Sesuai definisi
csc(γ) =
cot(γ) = = 1
csc2(γ) − cot2(γ) = ()2 − (1)2
csc2(γ) − cot2(α) = 2 − 1
csc2(γ) − cot2(α) = 1
Jadi, csc2(γ) − cot2(γ) = 1
Contoh 5
Diberikan segitiga ABC dengan dan . Tunjukkan bahwa dan
Penyelesaian :
Sesuai definisi, maka
sin(α) =
cos(β) =
Dari kedua persamaan diatas, maka
sin(α) = cos(β) ......................................(1)
∠A + ∠B + ∠C = 180°
α + 90° + β = 180°
α + β = 90°
α = 90° − β .............................(2)
β = 90° − α .............................(3)
Substitusi (2) ke (1) diperoleh
sin(90° − β) = cos(β)
Substitusi (3) ke (1) diperoleh
sin(α) = cos(90° − α)
Substitusi (2) ke (1) diperoleh
sin(90° − β) = cos(β)
Substitusi (3) ke (1) diperoleh
sin(α) = cos(90° − α)
Contoh 6
Diketahui segitiga ABC . Titik D terletak pada BC sehingga . Jika dan , tunjukkan bahwa
Penyelesaian :
Perhatikan segitiga ABD
tan(α) =
⇔ AB = BD tan(α) ................................(1)
Perhatikan segitiga ABC
tan(β) =
⇔ AB = (BD + 1) tan(β) .......................(2)
Dari persamaan (1) dan (2)
BD tan(α) = (BD + 1) tan(β)
BD tan(α) = BD tan(β) + tan(β)
BD tan(α) − BD tan(β) = tan(β)
BD(tan(α) − tan(β)) = tan(β)
BD = ..................................(3)
Substitusi (3) ke (1)
AB = tan(α)
diperoleh
AB =
Daftar Pustaka:
https://www.google.com/url?sa=t&source=web&rct=j&url=https://smatika.blogspot.com/2017/01/perbandingan-trigonometri-pada-segitiga.html%3Fm%3D1&ved=2ahUKEwjs4vyVr5n1AhWkxIsKHe1-CgIQFnoECB0QAQ&sqi=2&usg=AOvVaw0p-XF35ietYmWGWn-NMl0s