Ciri dari persamaan dan pertidaksamaan irasional adalah terdapat variabel atau peubah (x) yang berada dalam tanda akar. Contoh persamaan irasional sebagai berikut:
- √ x – 1 = x + 1
- x + 5 = √ x2 + 4
Sedangkan ciri pertidaksamaan irasional sama seperti persamaan irasional tetapi menggunakan notasi <, >, ≤, atau ≥. Langkah-langkah menyelesaikan soal persamaan dan pertidaksamaan irasional sebagai berikut:
- Tentukan syarat untuk persamaan atau pertidaksamaan irasional. Syarat ini bertujuan untuk menghindari akar negatif karena akar negatif akan menghasilkan bilangan imajiner.
- Kuadratkan kedua ruas persamaan atau pertidaksamaan irasional. Tujuan mengkuadratkan adalah untuk menghilangkan tanda akar.
- Tentukan interval yang sesuai dengan syarat yang sudah ditentukan.
Untuk lebih jelaskan perhatikan contoh soal persamaan dan pertidaksamaan irasional dibawah ini.
Contoh soal persamaan irasional
Contoh soal 1
Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan irasional √ x – 1 = x – 3
Penyelesaian soal
Untuk menjawab soal 1 kita tentukan dahulu syarat agar persamaan irasional berlaku yaitu:
- x – 1 ≥ 0 atau x ≥ 1.
- x – 3 ≥0 atau x ≥ 3.
Ambil syarat yang terbesar sehingga syarat yang berlaku pada persamaan irasional soal nomor 1 adalah x ≥ 3.
Selanjutnya kita hilangkan tanda akar dengan cara mengkuadratkan kedua ruas persamaan seperti dibawah ini:
- ( √ x – 1 )2 = (x – 3)2
- (x – 1) = x2 – 6x + 9
- x2 – 6x – x + 9 + 1 = 0
- x2 – 7x + 10 = 0
- (x – 2) (x – 5) = 0
- x = 2 atau x = 5
Karena syarat yang berlaku pada persamaan nomor 1 adalah x ≥ 3 maka nilai x yang memenuhi adalah x = 5. Jadi soal nomor 1 jawabannya adalah x = 5.
Untuk memeriksa apakah jawaban ini benar atau salah maka caranya cukup mudah yaitu dengan subtitusi x = 5 ke persamaan irasional nomor 1:
- √ x – 1 = x – 3
- √ 5 – 1 = 5 – 3
- √ 4 = 2
- 2 = 2
Kita lihat jawabannya sesuai.
Jika x = 2 kita subtitusi ke persamaan maka hasilnya sebagai berikut:
- √ 2 – 1 = 2 – 3
- 1 = – 1.
Kita lihat hasilnya tidak sesuai.
Contoh soal 2
Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan irasional √ x2 – 9 = √ x + 3 .
Penyelesaian soal
Sama seperti nomor 1, kita tentukan dahulu syarat persamaan irasional yaitu:
- x2 – 9 ≥ 0 atau x2 ≥ 9 → x ≤ -3 atau x ≥ 3.
- x + 3 ≥ 0 atau x ≥ -3.
Kita lihat syarat pertama x ≤ -3 dan yang kedua x ≥ -3 jadi syarat yang berlaku adalah x = -3 dan x ≥ 3.
Setelah itu kita kuadratkan kedua ruas persamaan irasional sehingga didapat:
- (√ x2 – 9 )2 = ( √ x + 3 )2.
- x2 – 9 = x + 3
- x2 – x – 9 – 3 = 0
- x2 -x – 12 = 0
- (x – 4) (x + 3) = 0
- x = 4 atau x = -3
Berdasarkan syarat kedua nilai x memenuhi sehingga jawaban soal ini adalah x = – 3 dan x = 4.
Contoh soal pertidaksamaan irasional
Contoh soal 1
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan irasional √ x – 5 < 2.
Penyelesaian soal
Untuk menjawab soal ini kita tentukan terlebih dahulu syarat agar pertidaksamaan irasional berlaku yaitu:
- x – 5 ≥ 0
- x ≥ 5
Selanjutnya kita kuadratkan kedua ruas pertidaksamaan irasional sehingga didapat:
- (√ x – 5 )2 < 22.
- x – 5 < 4
- x < 4 + 5 atau x < 9
Lalu kita buat garis bilangan untuk menentukan irisan antara syarat x ≥ 5 dan x < 9.
Berdasarkan gambar diatas maka himpunan pertidaksamaan irasional nomor 1 adalah 5 ≤ x < 9.
Contoh soal 2
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan irasional √ x – 1 > 2
Penyelesaian soal
Syarat yang berlaku pada pertidaksamaan irasional diatas sebagai berikut:
- x – 1 ≥ 0.
- x ≥ 1.
Kemudian kita kuadratkan pertidaksamaan diatas sehingga didapat:
- ( √ x – 1 )2 > 22
- x – 1 > 4
- x > 4 + 1
- x > 5
Jadi himpunan penyelesaian pertidaksamaan ini adalah x > 5.
Contoh soal 3
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan irasional √ 16 – x2 ≤ x + 4.
Penyelesaian soal
Syarat pertidaksamaan irasional:
- 16 – x2 ≥ 0.
- x2 – 16 ≤ 0.
- (x – 4)(x + 4) ≤ 0.
- x = 4 dan x = -4
- -4 ≤ x ≤ 4
Kemudian kita kuadratkan pertidaksamaan seperti dibawah ini:
- ( √ 16 – x2 )2 ≤ (x + 4)2
- 16 – x2 ≤ x2 + 8x + 16
- 16 – x2 – x2 – 8x – 16 ≤ 0
- -2x2 – 8x ≤ 0
- 2x2 + 8x > 0
- 2x (x + 4) > 0
- x ≤ – 4 dan x ≥ 0
Lalu kita buat garis bilangan antara syarat dengan hasil diatas sebagai berikut:
Jadi berdasarkan gambar diatas maka himpunan penyelesaian soal nomor 2 adalah x = -4 dan 0 ≤ x ≤ 4.
Contoh soal 4
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan √ 2x – 1 < √ x + 2 .
Penyelesaian soal
Syarat pertidaksamaan berlaku:
- 2x – 1 ≥ 0 atau x ≥ 1/2.
- x + 2 ≥ 0 atau x ≥ – 2.
Kuadratkan kedua ruas pertidaksamaan sehingga didapat:
- ( √ 2x – 1 )2 < ( √ x + 2 )2
- 2x – 1 < x + 2
- 2x – x < 2 + 1
- x < 3
Berdasarkan gambar diatas maka himpunan penyelesaian soal nomor 4 adalah 1/2 ≤ x < 3.
Daftar Pustaka:
https://www.google.com/url?q=https://www.catatanmatematika.com/2021/08/materi-persamaan-dan-pertidaksamaan-irasional.html&sa=U&ved=2ahUKEwjy0tHryor0AhXVqksFHfzjDOgQFnoECAcQAg&usg=AOvVaw26KB-XH4cYGV6Bh5vKYuWs
.png)