Di dalam kehidupan sehari-hari ataupun dalam perhitungan matematika, tentunya kita pernah menemui suatu permasalahan yang berhubungan dengan pertidaksamaan kuadrat. Permasalahan-permasalahan yang berhubungan dengan pertidaksamaan kuadrat tersebut memiliki karakteristik atau ciri-ciri tertentu. Pada umumnya, model matematika yang berbentuk pertidaksamaan kuadrat itu berdasarkan soal cerita.
Untuk bisa memahami bagaimana memecahkan permasalahan yang berkaitan dengan model matematika berbentuk pertidaksamaan kuadrat satu variabel, silahkan kalian simak ilustrasi sederhana berikut ini.
“Selisih kuadrat suatu bilangan positif dengan enam kali bilangan itu tidak lebih dari enam belas. Tentukanlah batas-batas bilangan tersebut”
Dari bagian kalimat “tidak lebih dari enam belas” merupakan petunjuk bagi kita bahwa masalah tersebut berhubungan dengan model matematika yang berbentuk pertidaksamaan kuadrat satu variabel. Masalah tersebut selanjutnya dapat dipecahkan melalui langkah-langkah berikut ini.
#1 Misalkan bilangan itu dengan x dengan catatan bahwa x > 0
#2 Berdasarkan ketentuan yang ada dalam soal, diperoleh hubungan atau model matematika: x2 – 6x ≤ 16
#3 Setelah kita dapatkan model pertidaksamaannya, maka langkah selanjutnya adalah mencari penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut yaitu dengan cara berikut ini.
■ Pertidaksamaan kuadrat x2 – 6x ≤ 16 atau x2 – 6x – 16 ≤ 0 kita ubah menjadi persamaan kuadrat x2 – 6x – 16 = 0. Kemudian persamaan kuadrat ini kita selesaikan dengan menggunakan metode pemfaktoran (kalau bisa) sebagai berikut.
⇔ x2 – 6x – 16 = 0
⇔ (x + 2)(x – 8) = 0
⇔ x = -2 atau x = 8
■ Kemudian kita ambil nilai uji x = -3, x = 0 dan x = 9 ke dalam persamaan kuadrat x2 – 6x – 16 = 0 untuk menentukan tanda interval. Perhatikan tabel berikut ini.
Tabel Hasil Uji Interval
Berdasarkan hasil perhitungan pada tabel di atas, maka kita dapat menggambarkan tanda-tanda interval pada diagram garis bilangan berikut ini.
■ Dari diagram garis bilangan di atas, maka interval yang memenuhi pertidaksamaan x2 – 6x – 16 ≤ 0 adalah -2 ≤ x ≤ 8. Lalu dengan melihat syarat pada langkah #1 yaitu x > 0 maka kita peroleh solusi 0 ≤ x ≤ 8.
#4 Dengan demikian, batas-batas bilangan itu adalah lebih dari 0 tetapi tidak lebih dari 8.
Setelah kalian memahami konsep dalam menyelesaian soal cerita berbentuk pertidaksamaan kuadrat, berikut ini kami sajikan kumpulan contoh soal cerita dan pembahasan mengenai pertidaksamaan kuadrat. Silahkan kalian simak dan pelajari secara seksama.
Contoh Soal #1
Keliling sebuah persegi panjang sama dengan 20 cm. Jika luas persegi panjang itu tidak kurang dari 21 cm2, maka tentukanlah batas-batas nilai panjang dari persegi panjang tersebut.
Jawab
■ Misalkan panjang dan lebar persegi panjang tersebut adalah x cm dan y cm. Maka keliling persegi panjang adalah K = 2(x + y) = 20
⇔ 2(x + y) = 20
⇔ x + y = 10
⇔ y = 10 – x
Luas persegi panjang adalah adalah L = x . y
⇔ L = x(10 – x)
⇔ L = 10x – x2
■ Dari soal telah ditentukan bahwa luas persegi panjang tidak kurang dari 21 cm2, hal ini berarti L ≥ 21 sehingga
⇔ 10x – x2 ≥ 21
⇔ 10x – x2 – 21 ≥ 0 (kita ubah –x2 menjadi x2 dengan mengali kedua ruas dengan -1)
⇔ x2 – 10x + 21 ≤ 0 (jika kedua ruas dikali dengan bilangan negatif, maka tanda berubah)
⇔ (x – 3)(x – 7) ≤ 0
Dari sini kita peroleh x = 3 dan x = 7
■ Kita tentukan batas interval yang memenuhi pertidaksamaan x2 – 10x + 21 ≤ 0 yaitu sebagai berikut.
Tabel Hasil Uji Interval
■ Dari tabel hasil uji interval di atas, maka interval yang memenuhi pertidaksamaan x2 – 10x + 21 ≤ 0 adalah 3 ≤ x ≤ 7.
■ Dengan demikian, batas-batas nilai panjang dari persegi panjang itu adalah mulai dari 3 cm sampai dengan 7 cm.
Contoh Soal #2
Hasil produksi suatu barang dinyatakan dengan persamaan P(x) = –x2 +28x – 60 unit barang untuk bahan baku yang diperlukan. Apabila hasil produksi (P) mencapai lebih dari 100 unit, maka banyaknya bahan baku x yang diperlukan adalah…
Jawab
■ Hasil produksi mencapai lebih dari 100 unit berarti P(x) > 100 sehingga
⇔ –x2 +28x – 60 > 100
⇔ –x2 +28x – 60 – 100 > 0
⇔ –x2 +28x – 160 > 0
⇔ x2 – 28x + 160 < 0
⇔ (x – 20)(x – 8) < 0
Dari sini kita peroleh x = 8 dan x = 20
■ Kita tentukan batas interval yang memenuhi pertidaksamaan x2 – 28x + 160 < 0 yaitu sebagai berikut.
Tabel Hasil Uji Interval
■ Dari tabel hasil uji interval di atas, maka interval yang memenuhi pertidaksamaan x2 – 28x + 160 < 0 adalah 8 < x < 20.
■ Dengan demikian, banyaknya bahan baku yang dibutuhkan adalah lebih dari 8 unit dan kurang dari 20 unit.
Contoh Soal #3
Sebuah peluru ditembakkan ke atas. ketinggian peluru yang dicapai (dalam meter) dinyatakan sebagai h(t) = 30t – t2. Berapa lamakah peluru itu berada pada ketinggian tidak kurang dari 221 meter?
Jawab
■ Ketinggian peluru tidak kurang dari 221 meter, berarti h(t) ≥ 221 sehingga
⇔ 30t – t2 ≥ 221
⇔ 30t – t2 – 221 ≥ 0
⇔ t2 – 30t + 221 ≤ 0
⇔ (t – 13)(t – 17) ≤ 0
Sampai sini kita dapatkan t = 13 dan t = 17
■ Kita tentukan batas interval yang memenuhi pertidaksamaan t2 – 30t + 221 ≤ 0 yaitu sebagai berikut.
Tabel Hasil Uji Interval
■ Dari tabel hasil uji interval di atas, maka interval yang memenuhi pertidaksamaan t2 – 30t + 221 ≤ 0 adalah 13 ≤ t ≤ 17.
■ Dengan demikian, peluru akan berada pada ketinggian tidak kurang dari 221 meter yaitu dari detik ke-13 sampai dengan detik ke-17 atau dalam selang waktu (17 – 13) detik = 4 detik.
Contoh Soal #4
Suatu kolam renang berbentuk persegi panjang akan dibuat dengan keliling 30 m. Jika luas kolam renang paling sedikit 50 m2, maka tentukanlah interval panjang kolam renang (dalam meter) yang memenuhi syarat tersebut.
Jawab
■ Misalkan panjang dan lebar kolam renang tersebut adalah x cm dan y cm. Maka keliling kolam renang adalah K = 2(x + y) = 30
⇔ 2(x + y) = 30
⇔ x + y = 15
⇔ y = 15 – x
Luas kolam renang adalah adalah L = x . y
⇔ L = x(15 – x)
⇔ L = 15x – x2
■ Dari soal telah ditentukan bahwa luas kolam renang paling sedikit 50 m2, hal ini berarti L ≥ 50 sehingga
⇔ 15x – x2 ≥ 50
⇔ 15x – x2 – 50 ≥ 0
⇔ x2 – 15x + 50 ≤ 0
⇔ (x – 5)(x – 10) ≤ 0
Sampai sini kita peroleh x = 5 dan x = 10
■ Kita tentukan batas interval yang memenuhi pertidaksamaan x2 – 15x + 50 ≤ 0 yaitu sebagai berikut.
Tabel Hasil Uji Interval
■ Dari tabel hasil uji interval di atas, maka interval yang memenuhi pertidaksamaan x2 – 15x + 50 ≤ 0 adalah 5 ≤ x ≤ 10.
■ Dengan demikian, interval atau batas panjang kolam renang adalah mulai dari 5 meter hingga 10 meter
Daftar Pustaka:
https://blogmipa-matematika.blogspot.com/2017/09/penerapan-pertidaksamaan-kuadrat.html
.png)